Решение: Стержень на движущейся доске
Однородный тонкий стержень массой $m = 1\ \text{кг}$ одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^\circ$. Под действием горизонтальной силы $\vec F$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью. Стержень при этом неподвижен. Найдите модуль силы $F$, если коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0{,}2$. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Решение по шагам
6 шаговНа стержень действуют сила тяжести $mg$, приложенная к его середине, нормальная реакция доски $N$ и сила трения $f$. Так как доска движется влево относительно неподвижного стержня, сила трения, действующая на стержень, направлена влево.
$$f = \mu N$$Рассмотрим моменты сил относительно шарнира. Длина стержня обозначена через $l$. Момент силы тяжести равен $\dfrac{mgl}{2}\cos\alpha$, момент нормальной реакции равен $Nl\cos\alpha$, а момент силы трения равен $fl\sin\alpha$.
$$\frac{mgl}{2}\cos\alpha + fl\sin\alpha - Nl\cos\alpha = 0$$После сокращения на $l$ и подстановки $f = \mu N$ получаем выражение для нормальной реакции.
$$N(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) = \frac{mg}{2}\cos\alpha$$Следовательно, сила трения равна:
$$f = \mu N = \frac{\mu mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)} = \frac{\mu mg}{2(1 - \mu\tan\alpha)}$$Доска движется равномерно, поэтому равнодействующая горизонтальных сил, действующих на неё, равна нулю. Сила $F$ уравновешивает силу трения со стороны стержня, поэтому $F = f$.
$$F = \frac{\mu mg}{2(1 - \mu\tan\alpha)}$$Подставим значения $m = 1\ \text{кг}$, $\mu = 0{,}2$, $\alpha = 30^\circ$, $g \approx 10\ \text{м/с}^2$.
$$F = \frac{0{,}2 \cdot 1 \cdot 10}{2\left(1 - 0{,}2\tan 30^\circ\right)} \approx 0{,}113\ \text{Н}$$F \approx 0{,}11\ \text{Н}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют направление силы трения на стержень.
Берут момент силы тяжести относительно конца стержня вместо плеча $\dfrac{l}{2}\cos\alpha$.
Забывают, что сила трения равна $f = \mu N$, а не $\mu mg$.
Не используют условие равномерного движения доски и не приравнивают силу $F$ к силе трения.