Решение: Полный оборот после удара
В маленький шар массой $M = 250\ \text{г}$, висящий на нити длиной $l = 50\ \text{см}$, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля массой $m = 10\ \text{г}$. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $V$ скорость шара с застрявшей пулей сразу после удара, а через $u$ — начальную скорость пули. При ударе сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы:
$$mu = (M+m)V$$Чтобы нить оставалась натянутой в верхней точке, минимальная скорость шара там должна удовлетворять условию:
$$v_{\text{в}}^2 = gl$$По закону сохранения механической энергии между нижней и верхней точками траектории:
$$\frac{(M+m)V^2}{2} = \frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{2} + (M+m)g(2l)$$Подставляя условие минимальной скорости в верхней точке, получаем минимальную скорость сразу после удара:
$$V^2 = 5gl$$Выразим скорость пули из закона сохранения импульса и подставим значения:
$$u = \frac{M+m}{m}\sqrt{5gl} = \frac{0{,}250+0{,}010}{0{,}010}\sqrt{5\cdot 10\cdot 0{,}50} = 26\cdot 5 = 130\ \text{м/с}$$Минимальная скорость пули равна $130\ \text{м/с}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют закон сохранения механической энергии непосредственно во время неупругого удара.
Считают достаточным условие достижения верхней точки без учёта натяжения нити.
Забывают, что центр масс поднимается на высоту $2l$ при переходе из нижней точки в верхнюю.
Не учитывают массу пули в общей массе шара после удара.