Решение: Площадь изображения квадрата
Квадрат со стороной $a = 20\ \text{см}$ расположен в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой $D = 2\ \text{дптр}$ так, что две его стороны параллельны плоскости линзы. Расстояние от дальней стороны квадрата до плоскости линзы $d_1 = 90\ \text{см}$. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.
Решение по шагам
9 шаговФокусное расстояние собирающей линзы равно
$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2}\ \text{м} = 0{,}5\ \text{м}$$Расстояние от ближней стороны квадрата до линзы составляет
$$d_2 = d_1 - a = 0{,}90 - 0{,}20 = 0{,}70\ \text{м}$$Для дальнейшей стороны квадрата расстояние до изображения определяется из формулы тонкой линзы:
$$F_1 = \frac{fd_1}{d_1-f} = \frac{0{,}5\cdot0{,}9}{0{,}9-0{,}5} = 1{,}125\ \text{м}$$Для ближней стороны квадрата получаем
$$F_2 = \frac{fd_2}{d_2-f} = \frac{0{,}5\cdot0{,}7}{0{,}7-0{,}5} = 1{,}75\ \text{м}$$Линейные увеличения для дальнейшей и ближней сторон соответственно равны
$$\Gamma_1 = \frac{f}{d_1-f}=1{,}25,\qquad \Gamma_2 = \frac{f}{d_2-f}=2{,}5$$Высоты изображений этих сторон равны
$$h_1 = a\Gamma_1 = 0{,}20\cdot1{,}25=0{,}25\ \text{м},\qquad h_2=a\Gamma_2=0{,}20\cdot2{,}5=0{,}50\ \text{м}$$Изображение квадрата имеет форму трапеции. Расстояние между изображениями его параллельных сторон равно
$$l=F_2-F_1=1{,}75-1{,}125=0{,}625\ \text{м}$$Площадь изображения равна площади трапеции:
$$S=\frac{h_1+h_2}{2}\,l=\frac{0{,}25+0{,}50}{2}\cdot0{,}625=0{,}234375\ \text{м}^2=2343{,}75\ \text{см}^2$$Для построения изображения следует провести из вершин квадрата лучи, параллельные главной оптической оси, после линзы направив их через дальний фокус, а также лучи через оптический центр линзы, не изменяющие направления. Пересечения соответствующих лучей дают вершины изображения.
Площадь изображения квадрата равна $2343{,}75\ \text{см}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют одно увеличение для всех точек квадрата, хотя его стороны находятся на разных расстояниях от линзы.
Путают расстояние от линзы до дальней и ближней сторон квадрата.
Считают изображение прямоугольником вместо трапеции.
Не учитывают, что изображение каждой стороны строится по своему расстоянию до линзы.