Решение: Движение связанных тел с трением
На горизонтальном неподвижном столе лежит доска массой $M = 0{,}8\ \text{кг}$. На доске находится маленький брусок массой $m = 200\ \text{г}$. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, закреплённый на стене; отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны. Коэффициент трения между бруском и доской $\mu_1 = 0{,}5$, между столом и доской $\mu_2 = 0{,}3$. Доску тянут вправо горизонтальной силой $\vec F$. Чему равен модуль силы $\vec F$, если модуль ускорения бруска относительно стола $a = 1\ \text{м/с}^2$? Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
9 шаговРассмотрим движение в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Нить нерастяжима, поэтому ускорения её концов равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Если брусок движется влево с ускорением $a$, то доска движется вправо с таким же ускорением.
$$a_m = a_M = a = 1\ \text{м/с}^2$$На брусок действуют сила тяжести $mg$, реакция доски $N_1$, сила натяжения нити $T$, направленная влево, и сила трения $f_1$, направленная вправо, поскольку брусок скользит относительно доски влево.
$$N_1 = mg,\qquad f_1 = \mu_1N_1 = \mu_1mg$$Запишем второй закон Ньютона для бруска, выбрав направление влево положительным.
$$T - f_1 = ma$$Принимая $g = 10\ \text{м/с}^2$, найдём силу трения между бруском и доской и натяжение нити.
$$f_1 = 0{,}5\cdot0{,}2\cdot10 = 1\ \text{Н},\qquad T = ma + f_1 = 0{,}2\cdot1 + 1 = 1{,}2\ \text{Н}$$На доску действуют сила $F$ вправо, сила натяжения нити и сила трения со стороны бруска влево, а также сила трения со стороны стола влево. Вертикально на стол действуют веса бруска и доски, поэтому реакция стола равна $(M+m)g$.
$$N_2 = (M+m)g,\qquad f_2 = \mu_2N_2 = \mu_2(M+m)g$$Запишем второй закон Ньютона для доски в направлении вправо.
$$F - T - f_1 - f_2 = Ma$$Вычислим силу трения доски о стол и искомую силу.
$$f_2 = 0{,}3\cdot(0{,}8+0{,}2)\cdot10 = 3\ \text{Н}$$Подставим найденные значения в уравнение движения доски.
$$F = Ma + T + f_1 + f_2 = 0{,}8\cdot1 + 1{,}2 + 1 + 3 = 6\ \text{Н}$$На рисунке сил следует показать: для бруска — $mg$ вниз, $N_1$ вверх, $T$ влево и $f_1$ вправо; для доски — $Mg$ вниз, реакции $N_1$ и $N_2$ вверх, $F$ вправо, $T$, $f_1$ и $f_2$ влево.
Модуль силы $F$ равен $6\ \text{Н}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно направляют силу трения между бруском и доской.
Не учитывают, что сила трения со стороны стола определяется общей массой $M+m$.
Считают ускорения бруска и доски одинаково направленными, хотя нить нерастяжима.
Не учитывают силу натяжения нити в уравнении движения доски.
Используют силу трения покоя вместо силы трения скольжения.