Ответ: Шайба на вращающемся конусе
При $\mu<\tan\alpha$: $L_{\max}=\dfrac{g\left(\cos\alpha+\mu\sin\alpha\right)}{\omega^2\sin\alpha\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)}$. При $\mu\geq\tan\alpha$ конечного максимального расстояния нет.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Полый конус с углом при вершине $2\alpha$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен $\mu$. При каком максимальном расстоянии $L$ от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние $L$ как расстояние до оси вращения вместо $r=L\sin\alpha$.
Забывают центробежную силу в системе отсчёта, вращающейся вместе с конусом.
Неверно определяют направление силы трения в предельном положении.
Приравнивают силу трения к $\mu mg$ вместо $\mu N$.
Не учитывают условие существования конечного значения $L_{\max}$: $\mu<\tan\alpha$.