Решение: Колебания в контуре после размыкания
В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ К длительное время замкнут, $\mathcal{E}=6\ \text{В}$, $r=2\ \text{Ом}$, $L=1\ \text{мГн}$. В момент $t=0$ ключ К размыкают. Амплитуда напряжения на конденсаторе в ходе возникших в контуре электромагнитных колебаний равна ЭДС источника. В какой момент времени напряжение на конденсаторе в первый раз достигнет значения $\mathcal{E}$? Сопротивлением проводов и активным сопротивлением катушки индуктивности пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговДо размыкания ключа ток в установившемся режиме определяется только сопротивлением резистора, так как катушка постоянному току сопротивления не оказывает:
$$I_0=\frac{\mathcal{E}}{r}=\frac{6}{2}=3\ \text{А}$$После размыкания источник и резистор отключены от колебательного контура. В начальный момент конденсатор не заряжен, а ток через катушку равен $I_0$. Амплитуда напряжения на конденсаторе равна:
$$U_{C\,\max}=I_0\sqrt{\frac{L}{C}}$$По условию амплитуда равна ЭДС источника. Поэтому ёмкость конденсатора равна:
$$\mathcal{E}=I_0\sqrt{\frac{L}{C}},\qquad C=\frac{I_0^2L}{\mathcal{E}^2}=\frac{3^2\cdot10^{-3}}{6^2}=2.5\cdot10^{-4}\ \text{Ф}$$Циклическая частота собственных колебаний контура:
$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-3}\cdot2.5\cdot10^{-4}}}=2000\ \text{с}^{-1}$$Так как конденсатор в начальный момент не заряжен, напряжение возрастает по закону $U_C=U_{C\,\max}\sin(\omega t)$. В первый раз оно достигает амплитудного значения при $\omega t=\frac{\pi}{2}$:
$$t=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{4000}\ \text{с}\approx7.85\cdot10^{-4}\ \text{с}$$$t\approx7.85\cdot10^{-4}\ \text{с}$, или $t\approx0.785\ \text{мс}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют ток $I_0=\mathcal{E}/(r+R_L)$, хотя активным сопротивлением катушки по условию нужно пренебречь.
Считают, что конденсатор был заряжен до ЭДС источника до размыкания; при замкнутом ключе катушка закорачивает конденсатор.
Берут половину периода вместо четверти периода: первое достижение максимального напряжения происходит при $t=T/4$.