Решение: Пружина между брусками
По неподвижной гладкой наклонной плоскости с углом $\alpha = 30^\circ$ движутся два одинаковых бруска массой $m = 0{,}25\ \text{кг}$ каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной с жёсткостью $k = 100\ \text{Н/м}$. Верхний брусок соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок, с грузом массой $M = 2\ \text{кг}$. Чему равна длина пружины $l$ в нерастянутом состоянии, если при движении брусков её длина постоянна и равна $L = 15\ \text{см}$? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Решение по шагам
10 шаговТак как нить невесома и нерастяжима, блок идеален, а длина пружины постоянна, оба бруска и груз имеют одинаковые по модулю ускорения. Будем считать положительным направление вверх вдоль наклонной плоскости для брусков и вниз для груза.
$$a_1=a_2=a$$На нижний брусок действуют сила упругости пружины, направленная вверх вдоль плоскости, сила тяжести и реакция опоры. Проекция второго закона Ньютона на наклонную плоскость:
$$F_\text{упр}-mg\sin\alpha=ma$$Для верхнего бруска сила натяжения нити направлена вверх вдоль плоскости, а сила упругости и составляющая силы тяжести направлены вниз:
$$T-F_\text{упр}-mg\sin\alpha=ma$$Для подвешенного груза:
$$Mg-T=Ma$$Сложим уравнения для двух брусков и груза. Внутренние силы натяжения нити и упругости сократятся:
$$Mg-2mg\sin\alpha=(M+2m)a$$Найдём ускорение системы при $\sin 30^\circ=0{,}5$:
$$a=\frac{Mg-2mg\sin\alpha}{M+2m}=g\frac{2-2\cdot0{,}25\cdot0{,}5}{2+2\cdot0{,}25}=0{,}7g$$Из уравнения движения нижнего бруска найдём силу упругости пружины:
$$F_\text{упр}=m(a+g\sin\alpha)=0{,}25(0{,}7g+0{,}5g)=0{,}3g$$По закону Гука сила упругости равна $k(L-l)$, поэтому удлинение пружины составляет:
$$k(L-l)=0{,}3g$$Принимая $g=10\ \text{м/с}^2$, получаем:
$$L-l=\frac{0{,}3\cdot10}{100}=0{,}03\ \text{м}=3\ \text{см}$$Следовательно, длина пружины в нерастянутом состоянии равна:
$$l=L-3\ \text{см}=15\ \text{см}-3\ \text{см}=12\ \text{см}$$Длина пружины в нерастянутом состоянии: $l=12\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать составляющую силы тяжести вдоль наклонной плоскости.
Считать, что сила упругости действует на оба бруска в одном направлении.
Использовать массу одного бруска вместо суммарной массы двух брусков при нахождении ускорения системы.
Перепутать длину пружины $L$ в растянутом состоянии с её длиной $l$ в нерастянутом состоянии.
Не обосновать равенство ускорений брусков и груза.