Решение: Длина пружины при движении
Груз массой $M = 800\ \text{г}$ соединён невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой $m = 400\ \text{г}$. К этому бруску на лёгкой пружине жёсткостью $k = 80\ \text{Н/м}$ подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины $l_0 = 10\ \text{см}$, коэффициент трения груза о поверхность стола $\mu = 0{,}2$. Определите длину пружины при движении брусков, считая, что при этом движении она постоянна. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Считать $g = 10\ \text{м/с}^2$. В ответе приведите ход решения, уравнения движения и рисунок с силами.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим через $a$ ускорение груза $M$ вправо и ускорение обоих подвешенных брусков вниз. Такое равенство ускорений следует из нерастяжимости нити и постоянства длины пружины. На груз $M$ действуют сила натяжения нити $T$ и сила трения $F_{\text{тр}} = \mu Mg$.
$$T - \mu Mg = Ma$$Рассмотрим два подвешенных бруска как единую систему массой $2m$. Сила натяжения нити направлена вверх, а силы тяжести обоих брусков — вниз.
$$2mg - T = 2ma$$Сложим уравнения, исключив силу натяжения нити.
$$2mg - \mu Mg = (M + 2m)a$$Подставим значения масс и коэффициента трения.
$$a = \frac{2 \cdot 0{,}4 \cdot 10 - 0{,}2 \cdot 0{,}8 \cdot 10}{0{,}8 + 2 \cdot 0{,}4} = 4\ \text{м/с}^2$$Для нижнего бруска сила тяжести направлена вниз, а сила упругости пружины — вверх. Так как нижний брусок движется вниз с ускорением $a$, по второму закону Ньютона:
$$mg - kx = ma$$Найдём удлинение пружины.
$$x = \frac{m(g-a)}{k} = \frac{0{,}4(10-4)}{80} = 0{,}03\ \text{м} = 3\ \text{см}$$Длина пружины равна сумме её длины в нерастянутом состоянии и удлинения.
$$l = l_0 + x = 10\ \text{см} + 3\ \text{см} = 13\ \text{см}$$Использование второго закона Ньютона правомерно в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Нить невесома и нерастяжима, блок гладкий и невесомый, поэтому натяжение нити одинаково на обоих участках, а ускорения связанных тел имеют одинаковые модули. Условие постоянства длины пружины означает одинаковые ускорения верхнего и нижнего брусков.
Длина пружины при движении равна $13\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что сила упругости равна весу нижнего бруска, не учитывая его ускорение.
Не учитывать силу трения при составлении уравнения для груза $M$.
Использовать массу только одного подвешенного бруска при расчёте ускорения всей системы.
Забыть, что удлинение пружины равно $l - l_0$, а не самой длине пружины.