Решение: Движение заряда в магнитном поле
Маленькое положительно заряженное тело массой $m$, прикреплённое к невесомой нерастяжимой нити длиной $L$, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции $\vec B$ которого перпендикулярен плоскости и направлен так, как показано на рисунке. Модуль наименьшей скорости тела в нижней точке, при которой тело совершает полный оборот по окружности, равен $v_{н}$. Заряд тела равен $q$. Найдите модуль вектора индукции магнитного поля.
Решение по шагам
6 шаговПри указанном направлении магнитного поля и движении тела из нижней точки вправо сила Лоренца направлена от центра окружности. Поэтому в верхней точке она направлена вверх, то есть также от центра окружности.
$$F_{\text{л}}=qvB$$Магнитная сила работы не совершает, поэтому между нижней и верхней точками выполняется закон сохранения механической энергии. Подъём тела равен $2L$.
$$\frac{mv_{н}^{2}}{2}=\frac{mv^{2}}{2}+2mgL$$Отсюда скорость тела в верхней точке равна:
$$v^2=v_{н}^{2}-4gL$$Минимальная скорость в нижней точке соответствует предельному случаю, когда в верхней точке натяжение нити равно нулю. В верхней точке сила тяжести и сила Лоренца направлены от центра, поэтому уравнение движения имеет вид:
$$\frac{mv^2}{L}=mg-qBv$$Выразим магнитную индукцию:
$$qBv=mg-\frac{mv^2}{L},\qquad B=\frac{m}{qv}\left(g-\frac{v^2}{L}\right)$$Подставим выражение для скорости в верхней точке:
$$B=\frac{m\left(5gL-v_{н}^{2}\right)}{qL\sqrt{v_{н}^{2}-4gL}}$$$B=\dfrac{m\left(5gL-v_{н}^{2}\right)}{qL\sqrt{v_{н}^{2}-4gL}}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что магнитная сила совершает работу при движении по окружности.
Неверно определить направление силы Лоренца для положительного заряда.
Взять в верхней точке ненулевое натяжение нити вместо предельного условия $T=0$.
Учесть силу Лоренца направленной к центру, хотя на рисунке она направлена от центра.