Решение: Параметр в рациональном уравнении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x^2-x)a^2+(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
9 шаговРазложим выражение в исходном уравнении:
$$x^4-x^3-x+1=(x-1)^2(x^2+x+1),\quad -x^3+x^2=-x^2(x-1)$$Вынесем общий множитель $x-1$:
$$(x-1)\left(xa^2+(x^3-1)a-x^2\right)=0$$Следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом $a$, а остальные корни определяются уравнением
$$a x^3-x^2+a^2x-a=0$$При $a=0$ получаем $-x^2=0$, то есть дополнительный корень $x=0$. Поэтому исходное уравнение имеет два различных корня: $x=0$ и $x=1$.
Пусть $a\ne0$. Дискриминант кубического уравнения равен
$$\Delta=-4a(a^3+1)^2$$Если $a>0$ или $a<0$, $a\ne-1$, то кубическое уравнение имеет ровно один действительный корень. Нужно исключить случай, когда этот корень равен $1$. Подстановка $x=1$ даёт
$$a-1+a^2-a=a^2-1$$Следовательно, $x=1$ является корнем кубического уравнения только при $a=1$ или $a=-1$. При $a=1$ других действительных корней нет, поэтому исходное уравнение имеет только один различный корень и это значение не подходит.
При $a=-1$ кубическое уравнение раскладывается следующим образом:
$$-x^3-x^2+x+1=-(x-1)(x+1)^2$$В этом случае исходное уравнение имеет два различных корня $x=1$ и $x=-1$, поэтому $a=-1$ подходит.
Все подходящие значения параметра: $a\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учесть, что $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра.
Исключить значение $a=-1$, не проверив кратный корень кубического уравнения.
Считать, что отрицательный дискриминант кубического уравнения означает отсутствие действительных корней.
Не проверить отдельно случай $a=0$, когда кубическое уравнение вырождается в квадратное.