Решение: Карточки и делимость
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?
Решение по шагам
7 шаговПусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее число на синей карточке равно $r$, поэтому $r$ является числом, кратным 3. Наибольшее число на красной карточке равно $2b$.
Все синие числа — различные числа, кратные 3, большие $-36$ и не превосходящие $r$. Это числа $-33,-30,\ldots,r$. Их количество равно $\dfrac{r+33}{3}+1=\dfrac{r}{3}+12$. Поэтому $b\leq \dfrac{r}{3}+12$.
Все красные числа — различные чётные числа, большие $-36$ и не превосходящие $2b$. Это числа $-34,-32,\ldots,2b$. Их количество равно $\dfrac{2b+34}{2}+1=b+18$. Поэтому $r\leq b+18$.
Для пункта а) возьмём $b=1$ и $r=3$. На синей карточке можно написать число $3$, а на красных — числа $-34$, $-32$ и $2$. Все условия выполнены: наибольшее красное число равно $2=2b$, а наибольшее синее число равно $3=r$.
Для пункта б) при $b=50$ из первого неравенства получаем $50\leq \dfrac{r}{3}+12$, то есть $r\geq114$. Из второго неравенства следует $r\leq50+18=68$. Эти условия несовместимы, поэтому 50 синих карточек быть не может.
Для пункта в) объединим неравенства: из $b\leq\dfrac{r}{3}+12$ следует $r\geq3b-36$. Вместе с условием $r\leq b+18$ получаем $3b-36\leq b+18$, откуда $2b\leq54$, то есть $b\leq27$.
Значение $b=27$ достигается при $r=45$. На синих карточках можно разместить все 27 чисел $-33,-30,\ldots,45$, кратных 3. На красных карточках можно разместить все 45 чётных чисел от $-34$ до $54$. Наибольшее синее число равно $45=r$, а наибольшее красное число равно $54=2b$.
а) Да, может. б) Нет, не может. в) Наибольшее количество синих карточек — 27.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что числа на карточках каждого цвета должны быть различными.
Забывать ограничение на числа: они должны быть больше $-36$.
Считать количество допустимых чисел, кратных 3, или чётных чисел с ошибкой на один элемент.
Доказывать только верхнюю границу $b\leq27$, но не показывать пример, в котором достигается $b=27$.