Шешімі: Перпендикулярные медианы и длина
В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$, причём $CM = BC$ и $CN = AC$.
а) Отрезки $CP$ и $CQ$ — медианы треугольников $ABC$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
б) Прямые $MN$ и $AB$ пересекаются в точке $K$, а прямые $BM$ и $AN$ — в точке $L$. Найдите $KL$, если $BC = 1$, а $AC = 5$.
Шешім по шагам
7 қадамВведём координатную систему: $C=(0,0)$, катет $BC$ направим вдоль оси $Oy$, а катет $AC$ — вдоль оси $Ox$. Так как $BC=1$ и $AC=5$, получаем $B=(0,1)$ и $A=(5,0)$. Из условий $CM=BC$ и $CN=AC$ следуют координаты $M=(1,0)$ и $N=(0,-5)$.
Так как $CP$ — медиана треугольника $ABC$, точка $P$ является серединой $AB$: $P=(5/2,1/2)$. Так как $CQ$ — медиана треугольника $NCM$, точка $Q$ является серединой $NM$: $Q=(1/2,-5/2)$.
Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых $CP$ и $CQ$.
$$\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CQ}=\left(\frac52,\frac12\right)\cdot\left(\frac12,-\frac52\right)=\frac54-\frac54=0$$Следовательно, прямые $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.
Найдём координаты точки $K$. Уравнение прямой $MN$: $y=5x-5$. Уравнение прямой $AB$: $y=1-x/5$. Решая систему, получаем $K=(15/13,10/13)$.
Найдём координаты точки $L$. Уравнение прямой $BM$: $y=1-x$, а уравнение прямой $AN$: $y=x-5$. Их пересечение имеет координаты $L=(3,-2)$.
Вычислим расстояние между точками $K$ и $L$.
$$KL=\sqrt{\left(3-\frac{15}{13}\right)^2+\left(-2-\frac{10}{13}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{24}{13}\right)^2+\left(-\frac{36}{13}\right)^2}=\frac{60}{13}$$а) $CP\perp CQ$; б) $KL=\dfrac{60}{13}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно размещают точку $N$: она находится на продолжении $BC$ за точку $C$, поэтому её координата по оси $Oy$ отрицательна.
Берут середину не той стороны при построении медиан.
Проверяют перпендикулярность произведением угловых коэффициентов, не учитывая вертикальные прямые; в данном решении надёжнее использовать скалярное произведение.
При вычислении $KL$ используют координаты точек пересечения с перепутанными знаками.