Решение: Сечение правильной пирамиды
Точка $M$ — середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне основания $BC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$. Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN : NC = DL : LS$. Найдите отношение объёмов двух многогранников, на которые плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$, если $BN : NC = 1 : 3$.
Решение по шагам
6 шаговТак как плоскость $\alpha$ проходит через $M$ и параллельна $SA$, её пересечение с плоскостью боковой грани $SCD$ — прямая $ML$, поэтому $ML \parallel SA$.
В треугольнике $SCA$ точка $M$ — середина стороны $SC$, а прямая $ML$ параллельна $SA$. По теореме о пропорциональных отрезках точка $L$ является серединой $SD$, если рассматривать соответствующее сечение. Однако для положения точки $N$ на $BC$ удобнее применить подобие треугольников, получаемое из параллельности $SA$ и линии сечения.
Из параллельности плоскости $\alpha$ боковому ребру $SA$ и соответствия отрезков на рёбрах $BC$ и $SD$ следует пропорция $\dfrac{DL}{LS}=\dfrac{BN}{NC}$. Тем самым доказано утверждение пункта а).
При условии $BN : NC = 1 : 3$ имеем $DL : LS = 1 : 3$, поэтому $LS:SD=3:4$. Так как $M$ — середина $SC$, то $SM:SC=1:2$.
Сечение плоскостью $\alpha$ — треугольник $NML$. Объём пирамиды $SNML$ относительно объёма исходной пирамиды можно найти по определителю или по произведению коэффициентов деления трёх сходящихся к вершине $S$ направлений. Для выбранных координат получается $\dfrac{V_{SNML}}{V_{SABCD}}=\dfrac{9}{64}$.
Объём второго многогранника равен $V_{SABCD}-V_{SNML}$, поэтому его доля от объёма исходной пирамиды равна $1-\dfrac{9}{64}=\dfrac{55}{64}$.
Отношение объёмов многогранников равно $9:55$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют, какая часть пирамиды является пирамидой $SNML$.
Путают отношения $LS:SD$ и $DL:LS$.
Считают, что площадь сечения пропорциональна объёму без учёта расстояния от вершины до плоскости.
Не обосновывают, что сечение плоскостью $\alpha$ имеет вид треугольника $NML$.