Решение: Параметр в системе уравнений
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases} ax^2+ay^2+2ax+(a+2)y+1=0,\\ xy+1=x+y \end{cases}$$
имеет ровно четыре различных решения.
Решение по шагам
11 шаговПреобразуем второе уравнение:
$$xy+1=x+y \Longleftrightarrow xy-x-y+1=0 \Longleftrightarrow (x-1)(y-1)=0$$Следовательно, решения системы лежат на двух прямых: $x=1$ или $y=1$.
При $x=1$ первое уравнение принимает вид:
$$ay^2+(a+2)y+3a+1=0$$Чтобы на прямой $x=1$ получить два различных решения, необходимо, чтобы дискриминант был положительным:
$$D_1=(a+2)^2-4a(3a+1)=4-11a^2>0$$При $y=1$ первое уравнение принимает вид:
$$ax^2+2ax+2a+3=0$$Чтобы на прямой $y=1$ получить два различных решения, необходимо:
$$D_2=(2a)^2-4a(2a+3)=-4a(a+3)>0$$Из условия $D_1>0$ получаем:
$$-\frac{2}{\sqrt{11}}<a<\frac{2}{\sqrt{11}}$$Из условия $D_2>0$ получаем:
$$-3<a<0$$Объединяя условия, получаем:
$$-\frac{2}{\sqrt{11}}<a<0$$Два множества решений могут иметь общую точку только в точке пересечения прямых $(1,1)$. Подставим её в первое уравнение:
$$a+a+2a+(a+2)+1=0 \Longleftrightarrow 6a+3=0 \Longleftrightarrow a=-\frac12$$При $a=-\frac12$ точка $(1,1)$ является общей для обеих ветвей, поэтому вместо четырёх различных решений получается только три. Это значение необходимо исключить.
a\in\left(-\frac{2}{\sqrt{11}},0\right)\setminus\left\{-\frac12\right\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разложить второе уравнение как $(x-1)(y-1)=0$.
Проверить только положительность дискриминантов и не учесть совпадение решений при $a=-\frac12$.
Забыть, что при $a=0$ уравнения перестают быть квадратными и не дают по два различных корня.