Шешімі: Угол между гранями пирамиды
Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=2\sqrt{2}$, $BC=4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$ — середина отрезка $BQ$. б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC$, если $SD=4$.
Шешім по шагам
8 қадамВведём координаты: $B=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{2},0,0)$, $C=(0,4,0)$, $D=(2\sqrt{2},4,0)$. Центр прямоугольника имеет координаты $O=(\sqrt{2},2,0)$, поэтому $S=(\sqrt{2},2,h)$.
$$SD^2=DO^2+SO^2$$Так как $SD=4$, $DO^2=(\sqrt{2})^2+2^2=6$, то высота пирамиды равна $SO=\sqrt{10}$. Следовательно, $S=(\sqrt{2},2,\sqrt{10})$.
Для точки на прямой $SB$ запишем координаты в виде $tS$. Коэффициент проекции точки $X$ на прямую $SB$ равен $t=\frac{X\cdot S}{S\cdot S}$. Имеем $S\cdot S=16$.
Для точки $A$ получаем $t_P=\frac{A\cdot S}{S\cdot S}=\frac4{16}=\frac14$. Для точки $C$ получаем $t_Q=\frac{C\cdot S}{S\cdot S}=\frac8{16}=\frac12$.
Таким образом, $P=\frac14S$, а $Q=\frac12S$. Следовательно, $P$ находится на отрезке $BQ$ и $BP=PQ$, то есть $P$ — середина отрезка $BQ$.
Для нахождения угла между гранями рассмотрим составляющие векторов $BA$ и $BC$, перпендикулярные ребру $SB$: $\vec a=\overrightarrow{BA}-\frac14\overrightarrow{BS}$ и $\vec c=\overrightarrow{BC}-\frac12\overrightarrow{BS}$.
Вычислим их скалярные произведения и длины: $\vec a\cdot\vec c=-2$, $|\vec a|^2=7$, $|\vec c|^2=12$. Поэтому косинус острого угла между гранями равен модулю косинуса угла между этими векторами.
$$\cos\varphi=\frac{|\vec a\cdot\vec c|}{|\vec a|\,|\vec c|}=\frac{2}{\sqrt{7}\sqrt{12}}=\frac1{\sqrt{21}}$$Следовательно, искомый угол между гранями является острым и определяется равенством $\varphi=\arccos\frac1{\sqrt{21}}$.
а) $P$ — середина отрезка $BQ$. б) $\displaystyle \varphi=\arccos\frac1{\sqrt{21}}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате находят высоту пирамиды, забывая, что $SO\perp ABCD$ и треугольник $SDO$ прямоугольный.
Смешивают коэффициенты проекций точек $A$ и $C$ на прямую $SB$.
Берут тупой угол между нормалями к плоскостям вместо острого угла между гранями.
Не обосновывают, почему равенство параметров $t_P=\frac14$ и $t_Q=\frac12$ означает, что $P$ — середина $BQ$.