Числа и средние значения
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9? в) Пусть шестое по величине число, а среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения .
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте числа по возрастанию: $x_1<x_2<\dots<x_{11}$. Переведите условия о средних арифметических в суммы.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Имеем $x_1+\dots+x_6=30$ и $x_6+\dots+x_{11}=90$. При вычислении суммы всех чисел число $x_6$ учитывается дважды.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Так как $B=x_6$, то $S-B=\dfrac{120-B}{11}-B=\dfrac{120-12B}{11}$. Выражение убывает при увеличении $B$, поэтому нужно найти наименьшее возможное значение $B$.