Решение: Тетраэдр и квадрат на рёбрах
На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3$. Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.
Решение по шагам
6 шаговВведём векторы с началом в точке $A$: $\vec{AB}=\mathbf b$, $\vec{AC}=\mathbf c$, $\vec{AD}=\mathbf d$. Так как $AK:KC=2:3$, имеем $\vec{AK}=\frac{2}{5}\mathbf c$.
Поскольку $KLMN$ — параллелограмм, из равенства $\vec{KL}=\vec{NM}$ и $\vec{LM}=\vec{KN}$ следует, что точки $L$, $M$, $N$ делят соответствующие рёбра в той же пропорции $2:3$: $\vec{AL}=\frac{2}{5}\mathbf d$, $\vec{AM}=\frac{3}{5}\mathbf b+\frac{2}{5}\mathbf d$, $\vec{AN}=\frac{3}{5}\mathbf b+\frac{2}{5}\mathbf c$.
Тогда $\vec{KL}=\frac{2}{5}(\mathbf d-\mathbf c)=\frac{2}{5}\vec{CD}$, а $\vec{KN}=\frac{3}{5}\mathbf b=\frac{3}{5}\vec{AB}$. Эти векторы являются соседними сторонами квадрата, поэтому они перпендикулярны. Следовательно, $AB\perp CD$.
Векторы, задающие тетраэдр $BKLM$, имеют определитель по модулю, равный $\frac{8}{125}$ от определителя, задающего тетраэдр $ABCD$. Поэтому $V_{BKLM}=\frac{8}{125}V_{ABCD}=\frac{8}{125}\cdot25=\frac{8}{5}$.
Площадь основания $KLM$ равна площади квадрата: $S_{KLM}=2^2=4$. Если $h$ — расстояние от $B$ до плоскости $KLM$, то $V_{BKLM}=\frac{1}{3}S_{KLM}h$.
Следовательно, $\frac{8}{5}=\frac{1}{3}\cdot4h$, откуда $h=\frac{6}{5}$.
Расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$ равно $\frac{6}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют доли, на которые точки делят рёбра тетраэдра.
Используют перпендикулярность диагоналей вместо перпендикулярности соседних сторон квадрата.
Забывают множитель $\frac{1}{3}$ в формуле объёма тетраэдра.
Ошибаются в коэффициенте отношения объёмов тетраэдров $BKLM$ и $ABCD$.