Решение: Квадрат и пересечение отрезков
В квадрате $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезки $CM$ и $DN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $\angle BKM = 45^\circ$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если сторона $AB = 2\sqrt{10}$.
Решение по шагам
8 шаговВведём координаты: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$, $D(0,a)$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон, имеем $M\left(\dfrac a2,0\right)$ и $N\left(a,\dfrac a2\right)$.
Найдём координаты точки пересечения $K$ прямых $CM$ и $DN$. Параметрические уравнения этих прямых можно записать в виде $CM: \left(a-\dfrac{at}{2},a-at\right)$ и $DN: \left(au,a-\dfrac{au}{2}\right)$. Из равенства координат следует $t=\dfrac25$, $u=\dfrac45$, поэтому $K\left(\dfrac{4a}{5},\dfrac{3a}{5}\right)$.
Рассмотрим векторы, исходящие из точки $K$: $\overrightarrow{KB}=\left(\dfrac a5,-\dfrac{3a}{5}\right)$ и $\overrightarrow{KM}=\left(-\dfrac{3a}{10},-\dfrac{3a}{5}\right)$.
Их скалярное произведение равно $\overrightarrow{KB}\cdot\overrightarrow{KM}=\dfrac{3a^2}{10}$. Длины векторов: $|KB|=a\sqrt{\dfrac25}$ и $|KM|=\dfrac{3a}{2\sqrt5}$. Поэтому $\cos\angle BKM=\dfrac{\frac{3a^2}{10}}{a\sqrt{\frac25}\cdot\frac{3a}{2\sqrt5}}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Следовательно, $\angle BKM=45^\circ$, что и требовалось доказать.
Найдём стороны треугольника $ABK$. Имеем $AB=a$, $AK=\sqrt{\left(\frac{4a}{5}\right)^2+\left(\frac{3a}{5}\right)^2}=a$, а $BK=\sqrt{\left(\frac a5\right)^2+\left(\frac{3a}{5}\right)^2}=a\sqrt{\frac25}$.
Площадь треугольника $ABK$ равна $S_{ABK}=\dfrac12\cdot AB\cdot \dfrac{3a}{5}=\dfrac{3a^2}{10}$. При $a=2\sqrt{10}$ получаем $S_{ABK}=12$, $AB=AK=2\sqrt{10}$ и $BK=4$.
Используем формулу радиуса описанной окружности: $R=\dfrac{AB\cdot AK\cdot BK}{4S_{ABK}}=\dfrac{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{10}\cdot4}{4\cdot12}=\dfrac{10}{3}$.
а) $\angle BKM=45^\circ$; б) $R=\dfrac{10}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты точки пересечения отрезков $CM$ и $DN$.
Путают длину $BK$ с длиной диагонали квадрата.
Используют формулу $R=\dfrac{abc}{4S}$ без вычисления площади треугольника.
Не обосновывают равенство угла $45^\circ$, ограничиваясь только рисунком.