Решение: Подобие треугольников и окружность
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 135^\circ$, $B_1C_1 = 10$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Решение по шагам
8 шаговТак как точки $A$, $B$, $C_1$ лежат на одной прямой, а точки $A$, $C$, $B_1$ — на другой, то угол $BAC$ равен углу $B_1AC_1$.
$$\angle BAC=\angle B_1AC_1$$Четырёхугольник $BCB_1C_1$ является вписанным. Углы $ABC$ и $AB_1C_1$ опираются на одну и ту же дугу $BC_1$, поэтому они равны.
$$\angle ABC=\angle AB_1C_1$$По двум углам треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны.
$$\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$$Площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ в семь раз больше площади треугольника $AB_1C_1$. Следовательно, площадь треугольника $ABC$, состоящего из этих двух фигур, в восемь раз больше площади треугольника $AB_1C_1$.
$$S_{ABC}=S_{AB_1C_1}+S_{BCB_1C_1}=8S_{AB_1C_1}$$Коэффициент подобия равен корню из отношения площадей.
$$k=\sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$Стороне $BC$ треугольника $ABC$ соответствует сторона $B_1C_1$ треугольника $AB_1C_1$. Поэтому
$$BC=k\cdot B_1C_1=2\sqrt{2}\cdot 10=20\sqrt{2}$$Точки $A$, $B_1$, $C_1$ лежат на сторонах исходного треугольника, поэтому угол $B_1AC_1$ равен $135^\circ$. Хорда $B_1C_1$ стягивает вписанный угол $135^\circ$, значит радиус окружности можно найти по формуле хорды.
$$B_1C_1=2R\sin\angle B_1AC_1$$Подставляем известные значения и получаем радиус окружности.
$$10=2R\sin135^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2},\quad R=5\sqrt{2}$$Треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны; $BC=20\sqrt{2}$, $R=5\sqrt{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно сопоставляют стороны подобных треугольников.
Забывают, что площадь четырёхугольника в семь раз больше площади малого треугольника, поэтому площадь большого треугольника в восемь раз больше.
Используют отношение площадей как коэффициент подобия, не извлекая квадратный корень.
Ошибаются в значении $\sin135^\circ$.