Ответ: Подобие треугольников и окружность
Треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны; $BC=20\sqrt{2}$, $R=5\sqrt{2}$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 135^\circ$, $B_1C_1 = 10$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Где здесь ошибаются
Неверно сопоставляют стороны подобных треугольников.
Забывают, что площадь четырёхугольника в семь раз больше площади малого треугольника, поэтому площадь большого треугольника в восемь раз больше.
Используют отношение площадей как коэффициент подобия, не извлекая квадратный корень.
Ошибаются в значении $\sin135^\circ$.