Ответ: Окружность и подобие треугольников
BC=18,\quad R=9\sqrt{2}
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$. Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Где здесь ошибаются
Забывают, что площадь треугольника $ABC$ складывается из площади треугольника $AB_1C_1$ и площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
При переходе от отношения площадей к коэффициенту подобия не извлекают квадратный корень.
Используют неверную формулу хорды и не учитывают, что $BC=2R\sin45^\circ$.