Решение: Рациональное логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{\log_3(9x)\cdot\log_4(64x)}{5x^2-|x|}\le 0$.
Решение по шагам
5 шаговОбласть допустимых значений определяется условиями существования логарифмов и ненулевого знаменателя. Поэтому $x>0$ и $5x^2-|x|\ne0$.
$$x>0$$Так как $x>0$, то $|x|=x$, поэтому знаменатель равен $5x^2-x=x(5x-1)$. С учётом $x>0$ знаменатель обращается в ноль при $x=\dfrac{1}{5}$, и эта точка исключается.
$$5x^2-|x|=x(5x-1)$$Нули множителей числителя найдём из уравнений $\log_3(9x)=0$ и $\log_4(64x)=0$.
$$9x=1\Rightarrow x=\frac{1}{9};\quad 64x=1\Rightarrow x=\frac{1}{64}$$Расположим критические точки: $0<\dfrac{1}{64}<\dfrac{1}{9}<\dfrac{1}{5}$. На промежутке $(0,\frac{1}{64})$ числитель положителен, знаменатель отрицателен; на $(\frac{1}{64},\frac{1}{9})$ числитель отрицателен, знаменатель отрицателен; на $(\frac{1}{9},\frac{1}{5})$ числитель положителен, знаменатель отрицателен; на $(\frac{1}{5},+\infty)$ числитель и знаменатель положительны.
$$\frac{(+)}{(-)}<0,\quad \frac{(-)}{(-)}>0,\quad \frac{(+)}{(-)}<0,\quad \frac{(+)}{(+)}>0$$В неравенство включаются нули числителя $x=\dfrac{1}{64}$ и $x=\dfrac{1}{9}$, а точка $x=\dfrac{1}{5}$ исключается, поскольку обращает знаменатель в ноль.
$$x\in\left(0,\frac{1}{64}\right]\cup\left[\frac{1}{9},\frac{1}{5}\right)$$x\in\left(0;\frac{1}{64}\right]\cup\left[\frac{1}{9};\frac{1}{5}\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x>0$ из области определения логарифмов.
Забывают, что при $x>0$ выражение $|x|$ заменяется на $x$.
Включают точку $x=\dfrac{1}{5}$, где знаменатель равен нулю.
Неверно определяют знаки произведения логарифмов между корнями $\dfrac{1}{64}$ и $\dfrac{1}{9}$.