Решение: Окружности и прямые треугольника
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $O$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $D$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $E$.
а) Докажите, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны. б) Найдите $AB$, если радиусы окружностей равны $10$ и $15$.
Решение по шагам
5 шаговТак как треугольник $ABC$ равнобедренный прямоугольный с прямым углом $C$, то $CA=CB$ и $\angle CAB=\angle CBA=45^\circ$.
Точки $A$ и $D$ лежат на одной прямой с точкой $C$, а точки $B$ и $E$ — на другой. Используя равенство вписанных углов, опирающихся на соответствующие дуги окружностей, и равенство углов при внешнем касании окружностей в точке $O$, получаем $\angle CDE=\angle CAB$ и $\angle CED=\angle CBA$.
Следовательно, $\triangle CDE\sim\triangle CAB$. Поэтому соответствующие углы равны: $\angle CDE=\angle CAB$. Это означает, что прямые $DE$ и $AB$ параллельны.
При внешнем касании окружностей расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $10+15=25$. В данной конфигурации гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна диагонали квадрата со стороной, равной расстоянию между центрами окружностей.
Поэтому $AB=25\sqrt{2}$.
а) $DE\parallel AB$; б) $AB=25\sqrt{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указать, какие именно углы равны при доказательстве подобия.
Перепутать сумму радиусов при внешнем касании с разностью радиусов.
Забыть, что гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$.