Камни в трёх коробках
Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
Решите три пункта задачи и приведите развернутое обоснование.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй 89, б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
| ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как изменяются остатки количеств камней при одном ходе? Рассмотрите разности количеств камней по модулю 3.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При любом ходе каждая из трёх разностей между количествами камней изменяется на число, кратное 3. Поэтому разности количеств камней по модулю 3 сохраняются.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
В начале $a-b=-7\equiv2\pmod3$ и $a-c=97\equiv1\pmod3$. Для пункта в) получаем $1-c\equiv1\pmod3$, поэтому $c$ кратно 3; так как всего 201 камень, $c\leq200$, следовательно, $c\leq198$. Число 198 достигается последовательностью ходов: 96 раз из первой и второй коробок в третью, затем 1 раз из второй и третьей в первую, затем 3 раза из первой и второй в третью, затем 1 раз из второй и третьей в первую, затем 1 раз из первой и второй в третью.