Ромб и перпендикуляр
Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что $\cos \angle BAD=\dfrac{1}{5}$.
б) Найдите площадь ромба, если $MN=5$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причём а) Докажите, что . б) Найдите площадь ромба, если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Расположите центр ромба в начале координат, а диагонали направьте вдоль координатных осей.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть $A(-a,0)$, $C(a,0)$, $B(0,b)$, $D(0,-b)$. Используйте отношения $AM:MC=1:2$ и $BN:ND=1:3$, а затем условие перпендикулярности прямых $MN$ и $BC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $M\left(-\dfrac{a}{3},0\right)$, $N\left(0,\dfrac{b}{2}\right)$ и $\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{b^2}{2}$. Поэтому $a^2=\dfrac{3b^2}{2}$, $\cos\angle BAD=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\dfrac15$. Из $MN^2=\dfrac{a^2}{9}+\dfrac{b^2}{4}=25$ найдите площадь $S=2ab$.