Шешімі: Цилиндр и угол между прямыми
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB=6$, $BB_1=15$, $B_1C_1=8$.
Шешім по шагам
5 қадамОбозначим через $O$ центр нижнего основания, а через $O_1$ — центр верхнего основания. Проекция точки $C_1$ на плоскость нижнего основания — точка $C$, поэтому проекцией отрезка $AC_1$ является отрезок $AC$. Так как $AC_1$ пересекает ось цилиндра, его проекция $AC$ проходит через центр $O$ окружности основания. Следовательно, $AC$ — диаметр основания.
$$O\in AC$$Так как $AC$ — диаметр окружности, угол $ABC$ прямой по теореме Фалеса. Кроме того, $CC_1$ параллелен $BB_1$ и перпендикулярен плоскости основания, поэтому $CC_1\perp AB$. Вектор направления $BC_1$ является суммой направлений $BC$ и $CC_1$. Поскольку $AB\perp BC$ и $AB\perp CC_1$, получаем $AB\perp BC_1$. Значит, угол $ABC_1$ прямой.
$$\angle ABC_1=90^\circ$$В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны катеты $AB=6$ и $BC=B_1C_1=8$, поскольку соответствующие отрезки равны как параллельные хорды в равных основаниях цилиндра.
$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$$Рассмотрим плоскость, проходящую через $AC_1$ и ось цилиндра. В ней горизонтальная составляющая направления $AC_1$ имеет длину $AC=10$, а вертикальная составляющая равна высоте цилиндра $CC_1=BB_1=15$. Поэтому угол $\alpha$ между прямыми $BB_1$ и $AC_1$ удовлетворяет соотношению
$$\tan\alpha=\frac{AC}{CC_1}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$Следовательно, искомый угол равен арктангенсу отношения горизонтальной и вертикальной составляющих.
$$\alpha=\arctan\frac{2}{3}=\arcsin\frac{2}{\sqrt{13}}$$а) $\angle ABC_1=90^\circ$; б) угол между $BB_1$ и $AC_1$ равен $\arctan\frac{2}{3}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему $AC$ является диаметром основания.
Ошибочно считают, что $BC_1=BC$.
Используют высоту цилиндра как прилежащий катет без построения соответствующего прямоугольного треугольника.
Находят угол между $AC_1$ и плоскостью основания вместо угла между $AC_1$ и образующей $BB_1$.