Высоты и радиус описанной окружности
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH$, $BN$ и $CK$ — высоты. Известно, что $AK=1$, $BH=2$, а $\angle KNH=60^\circ$.
а) Докажите, что $\angle ABC=60^\circ$. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В остроугольном треугольнике отрезки и высоты. Известно, что а а) Докажите, что б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны углы ортотреугольника $KNH$ с углами исходного треугольника $ABC$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для остроугольного треугольника $\angle KNH=180^\circ-2\angle ABC$. Используйте также проекции: $AK=AC\cos A$, $BH=AB\cos B$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Из условия следует $B=60^\circ$, затем $AB=4$. По теореме синусов и равенству $AC\cos A=1$ получите $\tan A=3\sqrt3$, после чего найдите $R$.