18
Ответ: Высоты и радиус описанной окружности
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия
ВысокаяФИПИ6D7942Развёрнутое решение≈ 10 минут
Что должно получиться
а) $\angle ABC=60^\circ$; б) $R=\frac{2\sqrt{21}}3$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Условие
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH$, $BN$ и $CK$ — высоты. Известно, что $AK=1$, $BH=2$, а $\angle KNH=60^\circ$.
а) Докажите, что $\angle ABC=60^\circ$. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Где здесь ошибаются
Неверно используют формулу угла ортотреугольника и получают $\angle KNH=2\angle ABC$.
Путают проекцию $BH=AB\cos B$ с $BH=AB\sin B$.
Забывают, что $C=180^\circ-60^\circ-A=120^\circ-A$.
Используют формулу $a=R\sin A$ вместо правильной формулы $a=2R\sin A$.