Решение: Высоты и радиус описанной окружности
В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH$, $BN$ и $CK$ — высоты. Известно, что $AK=1$, $BH=2$, а $\angle KNH=60^\circ$.
а) Докажите, что $\angle ABC=60^\circ$. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Решение по шагам
12 шаговТак как $AH$, $BN$ и $CK$ — высоты, точки $H$, $N$, $K$ являются основаниями высот. Углы ортотреугольника выражаются через углы исходного треугольника. В частности, для острого треугольника
$$\angle KNH=180^\circ-2\angle ABC$$Подставляя условие $\angle KNH=60^\circ$, получаем
$$60^\circ=180^\circ-2\angle ABC$$Следовательно,
$$\angle ABC=60^\circ$$В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $ABH$ равен углу $ABC$, поэтому $BH=AB\cos B$. С учётом $BH=2$ и $B=60^\circ$ имеем
$$2=AB\cos60^\circ=\frac{AB}{2}$$Отсюда длина стороны $AB$ равна
$$AB=4$$Обозначим $A=\angle BAC$, $C=\angle ACB$. Тогда $C=120^\circ-A$. По теореме синусов
$$AC=\frac{AB\sin60^\circ}{\sin(120^\circ-A)}=\frac{2\sqrt3}{\sin(120^\circ-A)}$$В прямоугольном треугольнике $ACK$ имеем $AK=AC\cos A=1$. Поэтому
$$\frac{2\sqrt3\cos A}{\sin(120^\circ-A)}=1$$Раскрывая синус разности, получаем
$$\frac{2\sqrt3\cos A}{\frac{\sqrt3}{2}\cos A+\frac12\sin A}=1$$После преобразования
$$4\sqrt3\cos A=\sqrt3\cos A+\sin A,\qquad \tan A=3\sqrt3$$Из равенства $\tan A=3\sqrt3$ получаем $\cos A=\frac1{2\sqrt7}$ и $\sin A=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}$. Тогда
$$\sin C=\sin(120^\circ-A)=\frac{\sqrt3}{2}\cos A+\frac12\sin A=\sqrt{\frac37}$$Используем формулу $AB=2R\sin C$ для радиуса описанной окружности:
$$4=2R\sqrt{\frac37}$$Следовательно,
$$R=\frac{2}{\sqrt{3/7}}=2\sqrt{\frac73}=\frac{2\sqrt{21}}3$$а) $\angle ABC=60^\circ$; б) $R=\frac{2\sqrt{21}}3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют формулу угла ортотреугольника и получают $\angle KNH=2\angle ABC$.
Путают проекцию $BH=AB\cos B$ с $BH=AB\sin B$.
Забывают, что $C=180^\circ-60^\circ-A=120^\circ-A$.
Используют формулу $a=R\sin A$ вместо правильной формулы $a=2R\sin A$.