Конус и объём тетраэдра
Различные точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $S$, причём отрезок $AB$ является диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.
Докажите, что $\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = 1{,}5$. Найдите объём тетраэдра $SABC$, если $SC = 1$ и $\cos \angle ASC = \dfrac{2}{3}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Различные точки и лежат на окружности основания конуса а) Докажите, что б) Найдите объём тетраэдра если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите центр основания $O$ и разложите векторы $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SC}$ на горизонтальные и вертикальные составляющие.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как угол между образующей и плоскостью основания равен $60^\circ$, высота конуса равна $h = SC\sin 60^\circ$, а радиус основания равен $R = SC\cos 60^\circ$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $SC=1$ получаем $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $R=\dfrac12$. Из условия на косинус найдите угол между радиусами $OA$ и $OC$, затем стороны прямоугольного треугольника $ABC$ и его площадь.