Решение: Рациональное неравенство с логарифмами
Решите неравенство $$\frac{2\log_3(9x)-13}{\log_3^2 x-\log_3 x^4}\le 1.$$
Решение по шагам
8 шаговОбласть допустимых значений исходного неравенства определяется условиями $x>0$ и $\log_3^2 x-\log_3 x^4\ne 0$.
Сделаем замену $t=\log_3 x$. Тогда $\log_3(9x)=\log_3 9+\log_3 x=2+t$, а $\log_3 x^4=4t$.
С учётом замены неравенство принимает вид:
$$\frac{2(t+2)-13}{t^2-4t}\le 1$$Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2t-9-t(t-4)}{t(t-4)}\le 0$$После упрощения получаем:
$$\frac{-t^2+6t-9}{t(t-4)}\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{-(t-3)^2}{t(t-4)}\le 0$$Критические точки: $t=0$, $t=3$ и $t=4$. Точки $t=0$ и $t=4$ исключаются из области допустимых значений, а точка $t=3$ входит в решение, поскольку обращает числитель в ноль.
Методом интервалов получаем $t\in(-\infty;0)\cup\{3\}\cup(4;+\infty)$.
Возвращаемся к переменной $x$: так как основание логарифма $3>1$, функция $3^t$ возрастает. Поэтому $t<0$ соответствует $0<x<1$, $t=3$ соответствует $x=27$, а $t>4$ соответствует $x>81$.
$x\in(0;1)\cup\{27\}\cup(81;+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $t\ne 0$ и $t\ne 4$, возникающие из знаменателя.
Ошибочно считать точку $t=3$ запрещённой: в ней числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Неверно переводить неравенства для $t=\log_3 x$ в неравенства для $x$.