Решение: Тригонометрическое уравнение с параметром
Решите уравнение $8 \cdot 16^{\sin^2 x} - 2 \cdot 4^{\cos^2 x} = 63$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};\,5\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $0 \leq \sin^2 x \leq 1$, введём замену $t = 4^{\sin^2 x}$. Тогда $1 \leq t \leq 4$.
Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и выразим вторую степень:
$$4^{\cos^2 x}=4^{1-\sin^2 x}=\frac{4}{4^{\sin^2 x}}=\frac{4}{t}$$После подстановки исходное уравнение принимает вид:
$$8t^2-2\cdot\frac{4}{t}=63$$Умножим уравнение на $t$:
$$8t^3-63t-8=0$$На отрезке $[1;4]$ это уравнение имеет единственный корень $t_0 \approx 2{,}8677$. Поэтому
$$\sin^2 x=\log_4 t_0 \approx 0{,}7595$$Обозначим $\alpha=\arcsin\sqrt{\log_4 t_0}$. Тогда $\alpha \approx 1{,}058$ и общее решение имеет вид:
$$x=\pi n+(-1)^n\alpha,\quad n\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$ подходят два значения при $n=4$ и $n=5$:
$$x=4\pi+\alpha,\qquad x=5\pi-\alpha$$x=4\pi+\alpha и x=5\pi-\alpha, где $\alpha=\arcsin\sqrt{\log_4 t_0}$, а $t_0$ — корень уравнения $8t^3-63t-8=0$ на отрезке $[1;4]$; приближённо $x\approx13{,}624$ и $x\approx14{,}650$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают равенство $\cos^2 x=1-\sin^2 x$.
Теряют ограничение $1\leq t\leq4$ после замены.
Записывают только общее решение и не проверяют принадлежность корней заданному отрезку.
Ошибочно оставляют корни кубического уравнения, не соответствующие значениям $t=4^{\sin^2 x}$.