Решение: Тригонометрическое уравнение и корни
а) Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
6 шаговПрименим формулы приведения и формулу синуса разности:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\quad \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}$$Подставим эти выражения в исходное уравнение и разделим обе части на $\sqrt{2}$:
$$\sqrt{2}(\sin x-\cos x)-2\sqrt{2}\sin x=0$$Упростим полученное уравнение:
$$\sin x-\cos x-2\sin x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x+\cos x=0$$Решение уравнения $\sin x+\cos x=0$ можно записать так:
$$\tan x=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Определим значения параметра $k$, для которых корень принадлежит заданному отрезку:
$$-4\pi\leq -\frac{\pi}{4}+\pi k\leq -\frac{5\pi}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{15}{4}\leq k\leq -\frac{9}{4}$$Единственное целое значение параметра — $k=-3$. Тогда корень равен:
$$x=-\frac{\pi}{4}-3\pi=-\frac{13\pi}{4}$$а) $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; б) $x=-\dfrac{13\pi}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют формулу приведения: $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$.
Теряют множитель $\sqrt{2}$ при преобразовании синуса разности.
Неправильно определяют целые значения $k$ на заданном отрезке.
Записывают только общий вид решения и не находят корни на отрезке.