Решение: Прямоугольный треугольник и пересечения
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Прямая, проходящая через $M$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$, причём $AK:KC=1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$. б) Прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.
Решение по шагам
9 шаговПусть $AK=x$. Тогда $KC=2x$ и $AC=3x$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $C=(3x,0)$, $K=(x,0)$, $B=(3x,h)$, где $h=BC$.
$$M=\left(\frac{3x}{2},\frac{h}{2}\right)$$Направляющий вектор $CM$ равен $\left(-\frac{3x}{2},\frac{h}{2}\right)$, а направляющий вектор $MK$ равен $\left(-\frac{x}{2},-\frac{h}{2}\right)$. Так как $MK\perp CM$, их скалярное произведение равно нулю.
$$\left(-\frac{3x}{2}\right)\left(-\frac{x}{2}\right)+\frac{h}{2}\left(-\frac{h}{2}\right)=0$$Из полученного равенства находим связь между катетами.
$$\frac{3x^2-h^2}{4}=0\quad\Rightarrow\quad h^2=3x^2$$В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс угла $BAC$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
$$\tan\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt3x}{3x}=\frac{1}{\sqrt3}$$Следовательно, $\angle BAC=30^\circ$, что доказывает пункт а).
Так как $BC=\sqrt{21}$ и $BC^2=3x^2$, получаем $x=\sqrt7$. Для нахождения отношений достаточно сначала рассмотреть координаты в масштабе $x=1$: $A=(0,0)$, $C=(3,0)$, $K=(1,0)$, $B=(3,\sqrt3)$, $M=\left(\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right)$.
$$3x^2=21\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt7$$Уравнение прямой $MK$ в выбранных координатах приводит к точке пересечения с $BC$: $P=(3,2\sqrt3)$.
Прямая $AP$ имеет уравнение $y=\frac{2\sqrt3}{3}x$, а прямая $BK$ задаётся параметрически. Их пересечение имеет координаты $Q=(-3,-2\sqrt3)$.
В масштабе $x=1$ вектор $\overrightarrow{KQ}=(-4,-2\sqrt3)$, поэтому $KQ=2\sqrt7$. Возвращаясь к исходному масштабу, умножаем на $x=\sqrt7$.
$$KQ=2\sqrt7\cdot\sqrt7=14$$$KQ=14$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты середины гипотенузы $M$.
Используют условие перпендикулярности без учёта знаков координатных разностей.
Путают масштабный случай $x=1$ с исходными координатами.
Находят точку пересечения прямых $AP$ и $BK$, но забывают восстановить исходный масштаб.
Не обосновывают, почему из $\tan\angle BAC=\frac{1}{\sqrt3}$ следует угол $30^\circ$.