Решение: Платежи по кредиту в 2029 году
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 27 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равна общая сумма платежей в 2029 году?
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $D_n$ долг на 15-е число месяца, где $D_0=27$ млн рублей, а $D_{36}=0$.
$$D_n=D_{n-1}-d$$Долг должен уменьшаться на одну и ту же величину за 36 месяцев, поэтому ежемесячное уменьшение равно:
$$d=\frac{27}{36}=0{,}75\text{ млн руб.}$$Следовательно, долг на 15-е число месяца с номером $n$ равен:
$$D_n=27-0{,}75n$$За месяц долг сначала увеличивается на 3 %, а затем уменьшается до $D_n$. Поэтому платёж за месяц с номером $n$ равен:
$$P_n=1{,}03D_{n-1}-D_n$$В 2029 году происходят платежи за месяцы с номерами от 25 до 36. Для предыдущих состояний долга получаем значения от $D_{24}=9$ до $D_{35}=0{,}75$ млн рублей, а для состояний после платежей — от $D_{25}=8{,}25$ до $D_{36}=0$ млн рублей.
$$\sum_{k=24}^{35}D_k=\frac{12(9+0{,}75)}{2}=58{,}5$$Сумма долгов после платежей в 2029 году равна:
$$\sum_{k=25}^{36}D_k=\frac{12(8{,}25+0)}{2}=49{,}5$$Тогда общая сумма платежей за 2029 год составляет:
$$S=1{,}03\cdot58{,}5-49{,}5=60{,}255-49{,}5=10{,}755$$10,755 млн рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение долга на 3 % в начале каждого месяца.
Считать в 2029 году только 11 платежей.
Использовать сумму долгов на 15-е число без вычитания долга после очередных платежей.
Перепутать индексы и включить в сумму платежи за 2028 год.