Решение: Кредитные платежи по годам
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 12 млн рублей. Каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. В июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 10\% меньше долга на июль предыдущего года, а к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 13 626 тыс. рублей. Найдите $r$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим через $q$ коэффициент увеличения долга в январе:
$$q=1+\frac{r}{100}$$Изначальный долг составляет $12\,000$ тыс. рублей. К июлю 2029 года он должен стать на 10\% меньше, то есть равняться $10\,800$ тыс. рублей. Поэтому первый платёж равен долгу после январского увеличения минус долг, оставшийся к июлю:
$$P_1=12\,000q-10\,800$$К июлю 2030 года долг должен составлять 90\% от долга на июль 2029 года:
$$10\,800\cdot0{,}9=9\,720$$Второй платёж равен:
$$P_2=10\,800q-9\,720$$В январе 2031 года долг $9\,720$ тыс. рублей увеличивается до $9\,720q$, после чего полностью погашается. Поэтому третий платёж равен:
$$P_3=9\,720q$$По условию сумма всех платежей составляет $13\,626$ тыс. рублей:
$$12\,000q-10\,800+10\,800q-9\,720+9\,720q=13\,626$$Соберём подобные слагаемые и найдём коэффициент увеличения:
$$32\,520q-20\,520=13\,626;\quad 32\,520q=34\,146;\quad q=1{,}05$$Так как $q=1+\dfrac{r}{100}$, получаем:
$$1+\frac{r}{100}=1{,}05;\quad r=5$$$r=5\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать январское увеличение долга перед каждым платежом.
Считать уменьшение долга на 10\% от первоначальной суммы вместо уменьшения текущего июльского долга.
Не перевести сумму кредита и платежей в одинаковые единицы.