Решение: Операция с трёхзначным числом
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Решение по шагам
5 шаговПусть исходное трёхзначное число имеет вид $100a+10b+c$, где $1\leqslant a\leqslant 9$, $0\leqslant b,c\leqslant 9$. После операции получаем число $100a+20b+c+3$.
$$N=100a+20b+c+3$$Проверим возможность получения числа 224. Должно выполняться $100a+20b+c+3=224$, то есть $100a+20b+c=221$. При $a=2$ получаем $20b+c=21$, откуда $b=1$, $c=1$. Значит, исходное число $211$, и число 224 действительно может получиться.
$$211+10\cdot1+3=224$$Проверим возможность получения числа 314. Уравнение имеет вид $100a+20b+c=311$. При $a=3$ получаем $20b+c=11$. Возможны только $b=0$, $c=11$, что невозможно, поскольку $c$ — цифра. При других значениях $a$ левая часть не может дать подходящие цифры. Следовательно, число 314 получить нельзя.
$$20b+c=11$$Рассмотрим отношение получившегося числа к исходному:
$$\frac{100a+20b+c+3}{100a+10b+c}=1+\frac{10b+3}{100a+10b+c}$$При фиксированных $a$ и $b$ это отношение уменьшается с ростом $c$, поэтому берём $c=0$. Оно увеличивается с ростом $b$, поэтому берём $b=9$. При $b=9$ отношение уменьшается с ростом $a$, поэтому берём $a=1$.
$$\frac{100+20\cdot9+0+3}{100+10\cdot9+0}=\frac{283}{190}$$а) Да, например, из числа 211 получается 224. б) Нет. в) Наибольшее отношение равно $\dfrac{283}{190}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что цифра десятков прибавляется не сама по себе, а умноженная на 10.
Допускают значение 10 или 11 для цифры единиц.
При поиске максимального отношения выбирают максимальное исходное число вместо минимального.
Не проверяют, что найденные значения являются цифрами трёхзначного числа.