Решение: Подобие треугольников и окружность
Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A = 45^\circ$, $B_1C_1 = 6$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.
Решение по шагам
8 шаговТак как точки $A$, $B$, $C_1$ лежат на одной прямой, а точки $A$, $C$, $B_1$ — на одной прямой, угол при вершине $A$ общий:
$$\angle BAC = \angle B_1AC_1$$Углы $ABC$ и $AB_1C_1$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BC_1$ окружности. Следовательно, треугольники подобны по двум углам:
$$\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$$Обозначим коэффициент подобия малого треугольника к большому через $k$. Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2$$Четырёхугольник $BCB_1C_1$ является частью треугольника $ABC$, оставшейся после удаления треугольника $AB_1C_1$. По условию площадь малого треугольника в восемь раз меньше площади четырёхугольника:
$$S_{AB_1C_1} = \frac{1}{8}(S_{ABC}-S_{AB_1C_1})$$Отсюда получаем:
$$8S_{AB_1C_1}=S_{ABC}-S_{AB_1C_1},\quad 9S_{AB_1C_1}=S_{ABC},\quad \frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}}=\frac{1}{9}$$Следовательно, $k^2=\frac{1}{9}$, а так как коэффициент подобия положителен, $k=\frac{1}{3}$. Соответствующие стороны треугольников относятся так же:
$$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{1}{3}$$Так как $B_1C_1=6$, длина стороны $BC$ равна:
$$BC=3\cdot 6=18$$Окружность является описанной около треугольника $ABC$. По теореме синусов $BC=2R\sin\angle A$, поэтому:
$$R=\frac{BC}{2\sin45^\circ}=\frac{18}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=9\sqrt{2}$$$BC=18$, радиус окружности $R=9\sqrt{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют отношение площадей как отношение соответствующих сторон, забывая возвести коэффициент подобия в квадрат.
Считают площадь четырёхугольника равной площади большого треугольника, не вычитая площадь треугольника $AB_1C_1$.
Применяют теорему синусов без учёта того, что сторона $BC$ лежит напротив угла $A$.