Операция над парами целых чисел
Над парами целых чисел проводится операция: из пары $(a; b)$ получается пара $(3a+b; 3b-a)$. а) Можно ли из какой-то пары получить пару $(5; 5)$? б) Верно ли, что если пара $(c; d)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $(-d; c)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами $(a; b)$ и $(c; d)$ выражением $|a-c|+|b-d|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $(9; 2)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Над парами целых чисел проводится операция: из пары получается пара . а) Можно ли из какой-то пары получить пару ? б) Верно ли, что если пара может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции? в) Зададим расстояние между парами целых чисел и выражением . Найдите наименьшее расстояние от пары до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Для каждого пункта запишите координаты пары, полученной после операции, и исследуйте полученную систему уравнений.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для пары $(c; d)$, полученной из $(a; b)$, обратные формулы имеют вид $a=\dfrac{3c-d}{10}$ и $b=\dfrac{c+3d}{10}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
В пункте а) подходит исходная пара $(1; 2)$. В пункте б) для пары $(-d; c)$ можно взять исходную пару $(-b; a)$. В пункте в) проверьте, что расстояния $0$, $1$ и $2$ невозможны, а пара $(10; 0)$ имеет расстояние $3$ от $(9; 2)$ и получается из пары $(2; -1)$.