Решение: Окружность девяти точек треугольника
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон треугольника $ABC$, по теореме о средней линии имеем $A_1B_1 \parallel BC$, $A_1C_1 \parallel AC$, $B_1C_1 \parallel AB$.
Поскольку $AH \perp BC$, угол $A_1HA$ не используется напрямую; рассмотрим углы при точке $H$. В прямоугольном треугольнике $AHC$ угол $HCA$ равен $45^\circ$, поэтому $\angle AHC=90^\circ$. С учётом параллельности $A_1C_1 \parallel AC$ получаем $\angle A_1HC_1=45^\circ$.
В треугольнике $A_1B_1C_1$, являющемся средним треугольником, угол $A_1C_1B_1$ равен углу $C$ исходного треугольника, то есть $45^\circ$. Следовательно, $\angle A_1HC_1=\angle A_1B_1C_1$, поэтому точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
Угол $B$ исходного треугольника равен $180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ$. По теореме синусов найдём сторону $AB$:
Подставляем $BC=2\sqrt3$:
В прямоугольном треугольнике $ABH$:
Точка $A_1$ — середина $BC$, поэтому $BA_1=\sqrt3$. Так как $BH=\sqrt3-1$, получаем:
$A_1H=1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать угол $B$ с углом $C$ и использовать значение $45^\circ$ вместо $75^\circ$.
Забывать, что $A_1$ — середина отрезка $BC$, поэтому $BA_1=\dfrac{BC}{2}$.
Доказывать только принадлежность трёх точек окружности и не показывать, что точка $H$ лежит на той же окружности.