Решение: Расчёт кредита с платежами
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно $A$, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?
Решение по шагам
11 шаговОбозначим через $D_n$ долг на 15-е число через $n$ месяцев после получения кредита. Тогда $D_0=A$, а $D_{24}=0$.
По условию долг на 15-е число каждого следующего месяца уменьшается на одну и ту же величину, поэтому последовательность $D_n$ является арифметической прогрессией:
$$D_n=A-nd$$Так как через 24 месяца долг равен нулю, найдём ежемесячное уменьшение долга:
$$D_{24}=A-24d=0,\qquad d=\frac{A}{24}$$Следовательно, долг на 15-е число через $n$ месяцев равен:
$$D_n=A\left(1-\frac{n}{24}\right)=\frac{A(24-n)}{24}$$Платёж в месяце, переводящий долг с $D_{n-1}$ на $D_n$, сначала компенсирует увеличение долга на 3 %, а затем уменьшает его до $D_n$. Поэтому этот платёж равен:
$$P_n=1{,}03D_{n-1}-D_n$$В 2028 году производятся платежи, переводящие долг с $D_{12}$ на $D_{13}$, затем с $D_{13}$ на $D_{14}$ и так далее до перехода с $D_{23}$ на $D_{24}$.
Сумма долгов, стоящих перед начислением процентов в этих платежах, равна:
$$D_{12}+D_{13}+\dots+D_{23}=\frac{A}{24}(12+11+\dots+1)=\frac{78A}{24}=3{,}25A$$Сумма долгов после платежей равна:
$$D_{13}+D_{14}+\dots+D_{24}=\frac{A}{24}(11+10+\dots+0)=\frac{66A}{24}=2{,}75A$$Поэтому общая сумма платежей в 2028 году составляет:
$$1{,}03\cdot3{,}25A-2{,}75A=0{,}5975A$$17 925 тыс. рублей — это 17,925 млн рублей. Составим уравнение:
$$0{,}5975A=17{,}925$$Решаем уравнение:
$$A=\frac{17{,}925}{0{,}5975}=30$$30 млн рублей
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что в 2028 году учитывается платёж 15 декабря, хотя последний платёж производится с 2-го по 14-е число.
Не учитывать увеличение долга на 3 % перед каждым платежом.
Использовать в сумме платежей одинаковые величины вместо долгов, образующих арифметическую прогрессию.
Не перевести 17 925 тыс. рублей в 17,925 млн рублей.