Шешімі: Подсчёт кратных чисел

Рассмотрим отрезок из $k$ последовательных натуральных чисел. Любые $60$ последовательных чисел содержат не менее трёх чисел, делящихся на $20$, поскольку такие числа идут через каждые $20$ чисел. При этом в любых $60$ последовательных числах содержится не более трёх чисел, делящихся на $23$, поскольку $4$ таких числа требуют промежутка длиной не менее $70$ между первым и последним, а минимальная длина отрезка, содержащего четыре числа, кратных $23$, равна $70$.

а) Да, это возможно. Например, в последовательности чисел от $21$ до $99$ содержатся ровно три числа, делящихся на $20$: $40$, $60$ и $80$. Числа, делящиеся на $23$, равны $23$, $46$, $69$ и $92$, то есть их четыре. Поэтому условие выполнено.

б) Нет. Если в последовательности содержится ровно десять чисел, делящихся на $20$, то длина последовательности не превосходит $199$, так как одиннадцать чисел, кратных $20$, имеют разность между первым и последним, равную $200$. Чтобы в последовательности было одиннадцать чисел, делящихся на $23$, её длина должна быть не менее $231$, так как разность между первым и одиннадцатым такими числами равна $230$. Следовательно, при наличии ровно десяти кратных $20$ чисел кратных $23$ не может быть больше десяти.

Для нахождения максимального $k$ заметим, что при $k=60$ в последовательности обязательно есть не менее трёх чисел, делящихся на $20$, и не более трёх чисел, делящихся на $23$. Поэтому требуемое неравенство невозможно при $k\geq 60$.