Решение: Максимизация выпуска на заводах
Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение по шагам
6 шаговПусть $a$ и $b$ — количество товаров, произведённых на первом и втором заводах соответственно. Тогда для их производства потребуется $a^2$ и $b^2$ часов работы.
Ограничение по оплате труда имеет вид:
$$200a^2+300b^2\le 1\,200\,000$$При максимальном выпуске весь выделенный бюджет используется. Для максимизации $a+b$ при данном ограничении применим условие равенства предельных затрат: $400a$ и $600b$ должны быть пропорциональны одинаковому приросту выпуска. Поэтому:
$$400a:600b=1:1,\qquad a:b=3:2$$Положим $a=3k$, $b=2k$. Тогда бюджетное ограничение принимает вид:
$$200(3k)^2+300(2k)^2=1\,200\,000$$Решаем уравнение:
$$1800k^2+1200k^2=1\,200\,000,\qquad 3000k^2=1\,200\,000,\qquad k^2=400,\quad k=20$$Следовательно, на первом заводе произведут $a=60$ единиц товара, а на втором — $b=40$ единиц. Общее количество продукции равно:
$$a+b=60+40=100$$Наибольшее количество продукции — 100 единиц.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать количество часов и количество произведённых единиц товара.
Распределять бюджет поровну между заводами, не учитывая различную стоимость часа работы.
Забывать, что для выпуска $a$ единиц требуется $a^2$ часов работы.
Использовать только один завод, хотя оптимальный выпуск достигается при работе обоих заводов.