Решение: Подобие треугольников и длина стороны
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $AOC$, пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны. б) Найдите длину стороны $AB$, если $AC=2$, $BC=\sqrt{10}$.
Решение по шагам
9 шаговОбозначим $\angle ABC=\alpha$. Тогда $\angle BAC=2\alpha$, а $\angle ACB=180^\circ-3\alpha$.
Так как $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, центральный угол, опирающийся на дугу $AC$, вдвое больше вписанного угла $ABC$: $\angle AOC=2\alpha$.
Точки $A$, $O$, $C$, $P$ лежат на одной окружности. Угол $APC$, опирающийся на ту же дугу $AC$, равен углу $AOC$, поэтому $\angle APC=2\alpha$.
Поскольку $P$ лежит на отрезке $BC$, имеем $\angle PCA=\angle BCA=180^\circ-3\alpha$. В треугольнике $APC$ тогда $\angle PAC=180^\circ-2\alpha-(180^\circ-3\alpha)=\alpha$.
Следовательно, $\angle PAC=\angle ABC$ и $\angle PCA=\angle ACB$. Значит, треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны по двум углам.
По теореме синусов в треугольнике $ABC$:
$$\frac{BC}{AC}=\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha$$Подставим известные длины:
$$\frac{\sqrt{10}}{2}=2\cos\alpha,\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{4}$$Сторона $AB$ лежит напротив угла $3\alpha$, поэтому:
$$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}=3-4\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha-1$$Так как $\cos^2\alpha=\frac{10}{16}$, получаем:
$$\frac{AB}{2}=4\cdot\frac{10}{16}-1=\frac{3}{2}$$а) $\triangle PAC\sim\triangle ABC$; б) $AB=3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать центральный угол $AOC$ с вписанным углом $ABC$ и забывать множитель $2.
Неверно определить углы, соответствующие при подобии треугольников.
Использовать формулу $\sin 3\alpha$ без проверки, что $\angle ACB=180^\circ-3\alpha$.
Потерять множитель $AC=2$ при переходе от отношения сторон к длине $AB$.