Решение: Показательное уравнение и отрезок
Решите уравнение $27^x - 28 \cdot 3^{x+1} + 3^{5-x} = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\sqrt{3};\log_2 5]$.
Решение по шагам
7 шаговПредставим первое слагаемое и выполним замену переменной: $27^x = 3^{3x} = (3^x)^3$. Обозначим $t = 3^x$, тогда $t > 0$.
$$t^3 - 84t + \frac{243}{t} = 0$$Умножим уравнение на $t$, поскольку $t > 0$.
$$t^4 - 84t^2 + 243 = 0$$Введём $u = t^2$. Получим квадратное уравнение.
$$u^2 - 84u + 243 = 0$$Дискриминант равен $D = 84^2 - 4 \cdot 243 = 78^2$, поэтому $u = 81$ или $u = 3$.
$$u_1 = \frac{84+78}{2}=81, \quad u_2=\frac{84-78}{2}=3$$Так как $t > 0$, из $t^2=81$ получаем $t=9$, а из $t^2=3$ получаем $t=\sqrt{3}$.
$$3^x=9 \quad \text{или} \quad 3^x=\sqrt{3}$$Находим корни исходного уравнения.
$$x_1=2, \quad x_2=\frac{1}{2}$$Проверим принадлежность отрезку. Поскольку $\sqrt{3} > 1$, имеем $\frac{1}{2} < \sqrt{3}$, поэтому $x=\frac{1}{2}$ не принадлежит отрезку. Кроме того, $2 \leq \log_2 5$, так как $2^2=4<5$.
$$2 \in [\sqrt{3};\log_2 5], \quad \frac{1}{2} \notin [\sqrt{3};\log_2 5]$$а) $x=\frac{1}{2}$ и $x=2$; б) на отрезке $[\sqrt{3};\log_2 5]$ находится корень $x=2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают условие $t=3^x>0$ и записывают отрицательные значения $t$.
При переходе от $t^2=81$ ошибочно берут только $t=\pm 9$ без проверки условия $t>0$.
Неверно сравнивают корень $\frac{1}{2}$ с левой границей отрезка $\sqrt{3}$.
Забывают проверить найденные корни на принадлежность заданному отрезку.