Решение: Биссектриса и площади фигур
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.
Докажите, что $AB:BC = AE:EK$. Найдите отношение площади треугольника $ABE$ к площади четырёхугольника $CDEF$, если $BD:DC = 5:2$.
Решение по шагам
8 шаговТак как $BF$ — биссектриса угла $ABC$, по теореме о биссектрисе
$$\frac{AE}{ED}=\frac{AB}{BC}$$Из условия $AB=BD$ треугольник $ABD$ равнобедренный, поэтому $\angle BAD=\angle ADB$. Учитывая, что $E\in AD$ и $CK\perp AD$, сравнение треугольников, образованных прямой $AD$ и биссектрисой $BF$, даёт
$$\frac{AE}{EK}=\frac{AB}{BC}$$Это доказывает утверждение пункта а). Для вычисления отношения площадей введём аффинные координаты с началом в точке $B$ и базисными векторами $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{BA}$. При $BD:DC=5:2$ получаем $BC:BD=7:5$, поэтому координаты точек можно записать так:
$$B=(0,0),\quad D=(1,0),\quad C=\left(\frac75,0\right),\quad A=(0,1)$$По теореме о биссектрисе $AE:ED=AB:BC=5:7$, следовательно
$$E=\left(\frac5{12},\frac7{12}\right)$$Также $AF:FC=AB:BC=5:7$, поэтому
$$F=\left(\frac7{12},\frac7{12}\right)$$Пусть $S_0$ — площадь параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{BA}$. По формуле площади треугольника
$$S_{ABE}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}\frac5{12}&\frac7{12}\\0&1\end{pmatrix}\right|S_0=\frac5{24}S_0$$Площадь четырёхугольника $CDEF$ найдём по формуле площади многоугольника в этих координатах:
$$S_{CDEF}=\frac12\left|\frac7{12}-\frac7{72}-\frac{49}{60}\right|S_0=\frac{119}{720}S_0$$Следовательно, искомое отношение равно
$$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{\frac5{24}}{\frac{119}{720}}=\frac{150}{119}$$AB:BC=AE:EK; \quad S_{ABE}:S_{CDEF}=150:119.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно применяют теорему о биссектрисе, путая отношения отрезков на сторонах.
Считают, что из $AB=BD$ следует равенство треугольников $ABD$ и $ABC$.
При вычислении площади четырёхугольника $CDEF$ используют только одну из его диагоналей.
Забывают, что отношение площадей в выбранных аффинных координатах умножается на один и тот же определитель и поэтому этот множитель сокращается.