Числа двух цветов
На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).
а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395=3+6+\ldots+90$, если все числа на доске кратны 3?
б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна $1067$?
в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна $1067$?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше , если все числа на доске кратны 3? б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067? в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Для каждого фиксированного количества зелёных и красных чисел оцените наименьшую возможную сумму, используя последовательности положительных кратных 3 и 7.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Минимальная сумма $n$ различных положительных чисел, кратных 3, равна $3(1+2+\ldots+n)$, а минимальная сумма $m$ различных положительных чисел, кратных 7, равна $7(1+2+\ldots+m)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для пункта в) проверьте $r=0,1,\ldots$ красных чисел. При $r=6$ минимальная сумма равна $3(1+\ldots+24)+7(1+\ldots+6)=1047$, и её можно увеличить на $20=3\cdot2+7\cdot2$.