19
Решение: Число с заданными остатками
ЕГЭ · Математика, база · Задание 19 · Натуральные числа и делимость
ПовышеннаяФИПИ23E080Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке 1, а цифры в его записи расположены в порядке убывания слева направо. Запишите какое-нибудь одно такое число.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Если при делении числа на 3, 5 и 7 получается остаток 1, то число на 1 больше общего кратного этих чисел.
$$n - 1 \vdots 3,\quad n - 1 \vdots 5,\quad n - 1 \vdots 7$$2
Так как числа 3, 5 и 7 попарно взаимно просты, их произведение равно 105. Значит, искомое число имеет вид:
$$n = 105k + 1$$3
При $k=4$ получаем трёхзначное число с цифрами, расположенными в порядке убывания.
$$n = 105 \cdot 4 + 1 = 421,\quad 4 > 2 > 1$$Проверим остатки: $421=420+1$, а число 420 делится на 3, 5 и 7.
$$421 \bmod 3 = 421 \bmod 5 = 421 \bmod 7 = 1$$Ответ
421
421
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают прибавить 1 к общему кратному.
Проверяют только делимость на 3, 5 и 7, но не проверяют порядок цифр.
Записывают число с цифрами, не расположенными строго по убыванию.