Решение: Количество верных ответов
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение по шагам
4 шагаПусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число ошибок. По условию ученик набрал 56 очков:
$$7x - 13y = 56$$Так как хотя бы один ответ был неправильным, $y \geq 1$. Из уравнения получаем:
$$7x = 56 + 13y$$Рассмотрим уравнение по модулю 13: $7x \equiv 56 \equiv 4 \pmod{13}$. Так как обратный к 7 по модулю 13 элемент равен 2, получаем:
$$x \equiv 8 \pmod{13}$$Число верных ответов не превышает 33, поэтому возможны $x=8$ и $x=21$. При $x=8$ получаем $y=0$, что противоречит условию. При $x=21$ получаем $y=7$, что допустимо.
$$7 \cdot 21 - 13 \cdot 7 = 56$$Где здесь ошибаются
Не учитывать условие, что ученик хотя бы один раз ошибся.
Считать штраф за неправильный ответ положительным и использовать $7x+13y=56$.
Забыть, что число верных и неправильных ответов в сумме не превышает 33.