Числа

Число — это абстрактное математическое понятие, используемое для счета, измерения и обозначения количества. Числа бывают различных типов и классифицируются в зависимости от их свойств.

Классификация чисел

Натуральные числа ($\mathbb{N}\backslash mathbb\{N\}$):

• Числа, используемые для счета.

• Примеры: $1,2,3,4,\dots 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; \backslash dots$.

• Свойства:

• Натуральные числа всегда положительные.

• Не включают $00$ (хотя в некоторых контекстах $00$ могут считать натуральным числом).

Целые числа ($\mathbb{Z}\backslash mathbb\{Z\}$):

• Включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа.

• Примеры: $-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \backslash dots$.

• Свойства:

• Целые числа могут быть положительными, отрицательными или нулём.

Рациональные числа ($\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$):

• Числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}\backslash frac\{p\}\{q\}$, где $pp$ и $qq$ — целые числа, $q\mathrm{\ne }0q\; \backslash neq\; 0$.

• Примеры: $-\frac{3}{4},0.5,2,-1.25-\backslash frac\{3\}\{4\},\; 0.5,\; 2,\; -1.25$.

• Свойства:

• Рациональные числа включают все целые числа.

• Десятичные записи рациональных чисел либо конечны, либо периодичны.

Иррациональные числа:

• Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}\backslash frac\{p\}\{q\}$.

• Примеры: $\sqrt{2},\pi ,e\backslash sqrt\{2\},\; \backslash pi,\; e$.

• Свойства:

• Десятичная запись иррациональных чисел бесконечна и не имеет периодичности.

• Иррациональные числа не включают целые и рациональные числа.

Действительные числа ($\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$):

• Объединение рациональных и иррациональных чисел.

• Примеры: $-2,0,\frac{3}{4},\sqrt{5},\pi -2,\; 0,\; \backslash frac\{3\}\{4\},\; \backslash sqrt\{5\},\; \backslash pi$.

• Свойства:

• Действительные числа заполняют числовую прямую.

Комплексные числа ($\mathbb{C}\backslash mathbb\{C\}$):

• Числа вида $z=a+biz\; =\; a\; +\; bi$, где $aa$ — действительная часть, $bb$ — мнимая часть, $ii$ — мнимая единица ($i^2=-1i^2\; =\; -1$).

• Примеры: $3+2i,-1-5i,43\; +\; 2i,\; -1\; -\; 5i,\; 4$.

• Свойства:

• Комплексные числа расширяют понятие числа за пределы действительных чисел.

Свойства чисел

1. Сравнение чисел:

   • Для любых чисел $aa$ и $bb$ справедливо одно из трёх утверждений: $a>ba\; >\; b$, , или $a=ba\; =\; b$.

2. Операции с числами:

   • 
     Сложение: $(a+b)\in \mathbb{R}(a\; +\; b)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

   • Вычитание: $(a-b)\in \mathbb{R}(a\; -\; b)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

   • Умножение: $(a\cdot b)\in \mathbb{R}(a\; \backslash cdot\; b)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

   • Деление: $(a÷b)\in \mathbb{R},b\mathrm{\ne }0(a\; \backslash div\; b)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; b\; \backslash neq\; 0$.

3. Модуль числа:

   • Модуль числа $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }|a|$ — это расстояние числа от нуля на числовой прямой.

   • Пример: $\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }=3,\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=4|3|\; =\; 3,\; \backslash ,\; |-4|\; =\; 4$.

4. Чётность и нечётность (для целых чисел):

   • 
     Чётные числа: делятся на $22$ без остатка ($2,4,6,\dots 2,\; 4,\; 6,\; \backslash dots$).

   • Нечётные числа: дают остаток $11$ при делении на $22$ ($1,3,5,\dots 1,\; 3,\; 5,\; \backslash dots$).

Примеры

Пример 1: Проверить, является ли число рациональным

Число $0.250.25$.

Решение: Число $0.250.25$ можно представить как дробь:

Это рациональное число.

Ответ: Число $0.250.25$ рациональное.

Пример 2: Найти модуль числа

Найдите модуль числа $-7-7$.

Решение:

Ответ: $77$.

Пример 3: Проверить чётность числа

Число $1515$.

Решение: $15÷2=715\; \backslash div\; 2\; =\; 7$ (остаток $11$). Значит, $1515$ нечётное.

Ответ: Нечётное.

Задачи для закрепления

1. Является ли число $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ рациональным или иррациональным?
2. Найдите модуль числа $-5.8-5.8$.
3. Определите, чётное или нечётное число $4242$.
4. Является ли число $\mathrm{0.3333...}0.3333...$ (бесконечная десятичная дробь с периодом $33$) рациональным?

Заключение

Числа — это основа математики, используемая во всех её разделах. Знание классификации чисел и их свойств позволяет решать различные математические задачи, от простейших вычислений до сложного анализа.